先日の件から幾日かたちましたが、いい回答はないです。回答がきました

追記1:
ふと、ほかのテレビにつないだらどうなるか試してみました。小さいAQUOSです。
結果。なんとすべての動作が正常ではないですか!! 
最悪の結果が出てしまいました。REGZAとの相性問題のようです。

追記2:
東芝に問い合わせてみた結果
>DIGAとの連動は想定していないのでしょうが無い。
>起動のたびにリンクメニューから「AVシステムから音を出す」を選択し直して音のダブりを消すのはレグザの仕様だ。といいきられてしまいました。
前のアンプの時はたまたまだったのか!と言いたくなります。

追記2:
とりあえず暫定的に対策をしました。
・テレビと同時に音が出て、リンクメニューから「AVシステムから音を出す」を選択し直さなければならない問題
 →当方はリモコンに学習リモコン「RM-PLZ430D」を使用しているので、リモコンのモードを変更して「AMP」の音を変更するモードに変えました。このモードだと「TV」や「BD」を選択している状態でも音量を調整すると「AMP」の電波が出ます。後は、テレビの音量を0にしとけばOK。
・レコーダーがON連動しない
 →下の部屋の小さなテレビ用に使っていたBDプレーヤー「BDP-S190」と入れ替え。ただ、プロジェクターでリアルタイムに番組が見られなくなってしまった。 グレード大幅ダウンで画質もダウンかな。(そこまで差は無い)